DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT
Por:
M.C. Ing. Mario Arrioja Rodríguez
Instituto Tecnológico de Orizaba
Dr. Luis Antonio Pérez González
Instituto Tecnológico de Orizaba - ipac
M.C. Ing. Carlos Díaz Ramos
Instituto Tecnológico de Orizaba
Definición
DtS1. Sean Y~ N(0,1) y X ~
variables aleatorias independientes. La variable aleatoria t
definida por la relación
es conocida como variable aleatoria t de Student.
Teorema DtS1. La f.d.p. de la variable t de Student admite la expresión
(DtS1) 
Demostración.
Presentaremos dos de los caminos (alternativas) más
ampliamente difundidos para demostrar este teorema.
Alternativa 1. La variable aleatoria Y, al distribuirse N(0,1), tiene la función de densidad de probabilidad (f.d.p.):
Por su parte X, al distribuirse 
tiene como f.d.p. a:
Así, la f.d.p. conjunta de X y Y es
Haciendo la transformación a coordenadas polares buscando la simplificación del exponente de e, tenemos:
0 < r < ¥, -p/2 < q < p/2,
La transformación 
permite construir las variables aleatorias R y Q. Del hecho que
(DtS2) 
encontramos que la variable Q y la variable T (t de Student) están relacionadas mediante la
expresión 
. Luego, encontrando la distribución de Q seremos conducidos, mediante esta expresión, a la distribución de
la variable t de Student.
La f.d.p. 
de la variable aleatoria Q la encontramos integrando, respecto a r, la f.d.p. conjunta 
:
Aplicando el teorema RG2 encontramos:
Sustituyendo
por 
y del hecho que 
, resulta:
(DtS3) 
De la relación (DtS2) se desprenden las siguientes relaciones:
Hemos reunido los elementos para encontrar
la distribución de la variable t de Student aprovechando la transformación 
cuyo jacobiano es:
Sustituyendo estos resultados en (DtS3) encontramos:
lo que demuestra el teorema.
Alternativa 2. También en este caso nuestro punto de partida es la f.d.p. conjunta de X y Y:
Consideremos la transformación 
, cuyo jacobiano es 
. Es claro que 
. Bajo estos considerandos resulta que para 
:
Integrando con respecto a r para obtener la distribución marginal de T obtenemos:
Aplicando la proposición (RG6), esta integral se transforma en (DtS1).